希爾伯特的旅館(下)

上一篇我們談到了，在客滿的無限旅館內來了無限多台載滿無限多名客人的巴士，這時旅館經理該怎麼辦？ 

首先，他先將原房客移動房間，讓原本住n號房的人移動到2的n次方號房，以清出所有奇數號房間，再將新客人編號後這麼分配：
第一台車的第 n 位客人住進3的n次方號房
第二台車的第 n 位客人住進5的n次方號房
第三台車的第 n 位客人住進7的n次方號房
第四台車的第 n 位客人住進11的n次方號房
以此類推，由於古希臘數學家歐幾里德(Euclid)曾說過質數有無限多個，而且上述的房間也不會重複，因此旅館經理又成功解決了問題！
這個悖論探討了無限大與無限大之間的複雜性。
另一方面數學家康托爾提出：對於兩個無限集合的比較，可以利用無限集合的基數(或稱勢)來做探討。
他說道：關於無限集合 A 與 B，若兩者內的元素可以建立一種「一一對應」關係，則我們稱 A 與 B 的基數相同，或稱 A 等勢於 B，也就是 A 與 B 的元素個數是一樣多的。
就如同希爾伯特的旅館，只要能找到一個方法讓新客人能一一對應的住進去，我們就視兩者為一樣多的。這種基數(勢)的描述記做
阿列夫數(Aleph)，其中最小的為 Aleph-0。
如果拿一開始提到的問題來看：正整數與非負整數是一樣多的，因為正整數中的元素都可以寫成非負整數的元素+1；直線上的點和平面上的點也是一樣多的，因為我們可以拆開直線上x座標的奇偶項位數使其分別成為x, y座標，也就是他們也存在著一一對應關係，因此一樣多。
最後大可留一個問題給大家思考！你們覺得實數跟正數哪一個比較多呢？在下面留言分享你的想法吧！👇🏻👇🏻👇🏻

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